Re: [問卦] 線性代數的卦？

※ 引述《iGao (Olala)》之銘言：
: 昨天在隔壁板看到話題
: 說某位畫家覺得線性代數是學生時代的夢魘
: 剛才在臉書的數學社團看到哏圖
: https://i.imgur.com/e3UJ0UY.png

八卦是如果問各系的老師和同學，線性代數最重要的定理是什麼，會得到各種答案，
例如高斯消去、最小誤差平方和的線性回歸、對角化、Jordan form、Householder等。

但是～～～如果問數學系老師，大概只會得到一種答案：Basis exchange theorem，
如果答案不是這個，大概只是因為稱呼不一樣，例如有人說basis exchange property。

這定理很簡單，就是說如果一個vector space有兩個bases B和B'，那麼現在我把一個
在B'裡但不在B裡的向量塞給B，B就變成線性相依了對不對？這時候一定又可以找一個
在B裡但不在B'裡的向量，使得B中踢掉這個向量後，又重新變成一個basis了。

這有什麼重要呢？這可以證明任一個vector space的任兩個有限大的bases都一樣大，
從而使得dimension一詞well-defined：不然，我們總是學到，啊，dimension就是
basis的大小嘛，那萬一兩個bases不一樣大，這定義不就有歧異了嗎？

在演算法的世界，有個經典問題是要找所謂的minimum spanning tree，這也是很像的
東西呢，一個tree上面如果塞一條邊，一定會形成恰好一個cycle，從那個cycle上拿掉
任意一條邊，又得到一棵tree，這體會一下，把tree比喻作basis，塞進去的邊比喻作
向量，cycle比喻作線性相依的關係，噢，會發現這跟basis exchange theorem很像！

沒錯，所以在演算法的世界，有一種東西叫做matroid theory，就是在統一處理這些
很像的東西的一些最佳化問題，你看matroid這個字就知道了，很像matrix，就是因為
它的來源就是線性代數。

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