Re: [閒聊] 日本中學生數學這麼難的嗎？

※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言：
: ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: : 推 CATALYST0001: substitution高中有教吧？還是那是我以前補習班才 03/06 23:39
: : 沒有。我只在很舊的高職工程數學上看過。
: : → CATALYST0001: 有學到？反而是ln 跟e不曉得為什麼不教 03/06 23:39
: : 我也覺得該教，但實際上一教下去就會牽出一大串東西。
: : 最舒適的流程應該是用積分定義 ln，證明他滿足對數律就可以說明他是一種 log。: : 然後帶出他的底數 e，定下自然對數底這個稱呼。
: : 畢竟常用的兩個極限定義都……很奇怪啊。
: : (1+1/n)^n 還可以用複利，Σ1/n! 要從無窮級數的積下手來談吔。
: 只是要教 (1) e 常數的定義 和 (2) 對應的指數函數不難啦
: 問題在教了要幹嘛？
: 教會學生怎麼對 1/x 積分？
: x
: ln x = ∫du/u 這個定義是證明起來方便，但動機看起來超奇怪
: 1
: 你沒事定義一個這樣的函數幹嘛？打手槍？
: 比較易懂的做法是
: 1. 定義常數 e
: 2. 定義 lnx 為指數函數的 e^x (簡單的說就只是某個特別的對數函數)
: 3. 透過反函數的微分性質去得出對 lnx 微分會得到 1/x
: 但第三步會得要先得到 「對e^x微分會等於e^x」
: 這實際上也才是為什麼 e 重要
: 但是啊，你怎麼突然會關心起「微分變成自己的東西」？
: 這答案很標準，就是微分方程，比如 y'(x) = ay(x)
: 微方可以說是人類科學發展過程中數一數二重要的里程碑
: 不過我們高中教育從來沒有想要把微方的概念代入教材裡面
: 而如果跳過這些，純粹就告訴學生「幹 別管有啥用，給我全部接受、算就對了」
: 這很容易造就一堆覺得莫名其妙、然後什麼都沒學會的學生

先教積分在教微分的方法多見於一些數學系才會用的教材，其便利之處在於處理積分比

處理微分更容易。所有數學系畢業的人都知道Lebesgue定理，但是知道絕對連續隱含微分

幾乎處處存在且微積分基本定理成立的人是為數不多的存在。在指對數函數這邊會寫出

的事情是，用1/x的定積分定義log(x)讓你直接得到log和其反函數都無窮可微，但是先寫

出指數函數時你必須要了解他是一個連續甚至可微的函數，那就得動手算一些極限，衍生

出是要算下去讓課堂變無聊還是要跳過去讓學生變得迷惑的兩難。

另一方面，你寫出的微分方程固然可以用瞪出一個解和存在唯一定理解，但是其正規解法

難道不是分離變數後變成a/y對y積分並取反函數嗎？這也給出一個為什麼要會算這個積分

的敘事。在純數學裡，1/x的積分是重要的積分，log函數也是偉大的函數。用途和趣味性

不見得會輸給指數函數，只是生不出剛學微積分的人能理解的動機而已。

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(如果你是一座島的島主 那這座島上最重要的守則是什麼?)

"每位滿20歲的國民都要會Galois theory"

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Stewart大概是說 你看 f(2.01), f(2.001),...這串數字有沒有好像趨近一個數？有齁？有的話就說 lim x-->2 f(x) = 那個數 。 我們來算幾個例子。 |x|很小的時候sin(x)/x難道沒有很接近1嗎？沒錯！它的極限就是1 然後開始算很多limit，然後再告訴你定義。 我不知道台大怎麼教，我希望沒有TA遇到有人問為什麼x/x在0的極限不是不存在。