Re: [閒聊] 日本中學生數學這麼難的嗎？

※ 引述《cmrafsts (喵喵)》之銘言：
: ※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言：
: : 只是要教 (1) e 常數的定義 和 (2) 對應的指數函數不難啦
: : 問題在教了要幹嘛？
: : 教會學生怎麼對 1/x 積分？
: : x
: : ln x = ∫du/u 這個定義是證明起來方便，但動機看起來超奇怪
: : 1
: : 你沒事定義一個這樣的函數幹嘛？打手槍？
: : 比較易懂的做法是
: : 1. 定義常數 e
: : 2. 定義 lnx 為指數函數的 e^x (簡單的說就只是某個特別的對數函數)
: : 3. 透過反函數的微分性質去得出對 lnx 微分會得到 1/x
: : 但第三步會得要先得到 「對e^x微分會等於e^x」
: : 這實際上也才是為什麼 e 重要
: : 但是啊，你怎麼突然會關心起「微分變成自己的東西」？
: : 這答案很標準，就是微分方程，比如 y'(x) = ay(x)
: : 微方可以說是人類科學發展過程中數一數二重要的里程碑
: : 不過我們高中教育從來沒有想要把微方的概念代入教材裡面
: : 而如果跳過這些，純粹就告訴學生「幹 別管有啥用，給我全部接受、算就對了」
: : 這很容易造就一堆覺得莫名其妙、然後什麼都沒學會的學生
: 先教積分在教微分的方法多見於一些數學系才會用的教材，其便利之處在於處理積分比: 處理微分更容易。所有數學系畢業的人都知道Lebesgue定理，但是知道絕對連續隱含微分: 幾乎處處存在且微積分基本定理成立的人是為數不多的存在。在指對數函數這邊會寫出: 的事情是，用1/x的定積分定義log(x)讓你直接得到log和其反函數都無窮可微，但是先寫: 出指數函數時你必須要了解他是一個連續甚至可微的函數，那就得動手算一些極限，衍生: 出是要算下去讓課堂變無聊還是要跳過去讓學生變得迷惑的兩難。
: 另一方面，你寫出的微分方程固然可以用瞪出一個解和存在唯一定理解，但是其正規解法: 難道不是分離變數後變成a/y對y積分並取反函數嗎？這也給出一個為什麼要會算這個積分: 的敘事。在純數學裡，1/x的積分是重要的積分，log函數也是偉大的函數。用途和趣味性: 不見得會輸給指數函數，只是生不出剛學微積分的人能理解的動機而已。
你我的論點並不衝突呀

你的第一段論點就是在闡述「證明起來方便」，
而第二段就是在講「動機看起來超奇怪」

你文章提出的問題，都是「數學分析」層面的問題。
這領域大致上可以說是從19世紀 Cauchy, Weierstrass 等數學家的工作才正式開始，
但到18實際為止已經有很多物理學家用微積分的技術得到了很多成果。

理論的嚴謹性固然重要，但這重要性根據不同領域會有不同的程度。
對大多數人而言，微積分/工程數學是用來解決應用問題的工具。

我也不是覺得高中不能教些簡單的微分方程來導入 e 和 ln，
比如化學的反應速率與濃度關係就是簡單的微方，實際上半衰期就是這樣得來的

我反對的是像矩陣那樣在數學教育裡面噴個不知幹啥用的東西

數學本來是為了讓問題變得更簡單的學問，
但不良的數學教育卻能讓數學在很多人眼中是個把問題變得更困難的東西 ==

至於解 y' = y 的正規解法，
線性常微方比較常用的是假定 complemtary solution 會長得像 e^(at) 的形式。
我是覺得，在微方裡面只能要得出解都算得上是正規的解法，
畢竟有closed-form solution的微方是滄海一粟

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鳳雛的清楚講習
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