[閒聊] 2.5次元的定義

本季新番有一部名為2.5次元的誘惑，講述傾情於2次元的男主角，

與女同學進行cosplay的各種活動。

明顯的是用2.5次元這個詞來形容3次元的人類去還原2次元的創作。

但是，數學上有2.5次元這回事嗎？

在這之前，什麼是次元？

眾所皆知的，我們習慣生活於三維空間，有三個軸（前後、上下、左右）就可描述

這個空間中每個點的位置，

我們也能使用習慣的直角座標系統，來描述平面上各點的位置，

如果需要花俏一點，平面極座標、空間圓柱座標、球座標等各種方式都能夠滿足需求。

可以說，我們在N維空間中至少需要N個情報來描述一個點。

但這無法套用到非整數次元，所以我們得換個路徑來走。

█這是一個正方形，他是一個二維空間的物體。

███這是一個邊長3倍的正方形，我們需要9個小正方形來構築。
███
███

三維空間中呢？

在三維空間中，一個邊長3倍的立方體需要27個一樣的立方體來構築。

這好像天經地義，有說跟沒說一樣？

非也，因為有些東西不是這樣的。

https://i.imgur.com/AkOUs1L.png

為3倍，請問需要幾個原本的地毯？

沒錯，8個！

因此謝爾賓斯基地毯的結構跟正方形是完全不同的！

再看個例子：https://i.imgur.com/0nfshK8.png

一樣的提問，當我們想要得到一個邊長3倍的門格海綿，我們需要幾個小門格海綿？

這次，我們需要20個。

所以，到底該怎麼定義維度？在數學上，定義方式是這樣的：

當你在這個空間中把一個物體放大n倍，需要原本的n^d，那維度就是d。

白話解釋就是，2次元的東西想要放大4倍，就需要4^2=16個；

3次元的東西想要放大4倍，就需要4^3=64個

好啦，那麼剛才提到的謝爾賓斯基地毯、門格海綿又要怎麼定義維度？

3倍的謝爾賓斯基地毯需要8個，也就是說，3^d=8，d=log_3(8)，約莫為1.8927次元；

3倍的門格海綿需要20個，3^d=20，d=log_3(20)，大約為2.7268

所以到底什麼是2.5次元？

這問題倒是不難解決，我們只需要設計出一個東西，想要放大4倍的時候，需要4^2.5=32個

即可（類似的，想要放大2倍則需要2^2.5個，約為5.6569個。）

這樣的結構大抵上也跟各種碎形脫不了關係，因為碎形就是有如此特別的意義。

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2*0*1*6=9487

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