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Re: [閒聊] 達斯維達會跳的話盧克還打得贏嗎?

看板C_Chat標題Re: [閒聊] 達斯維達會跳的話盧克還打得贏嗎?作者
nahsnib
(悟)
時間推噓 5 推:5 噓:0 →:2

我不曉得維達能跳會不會影響戰局,不過可以分享一下韋達跳起來的話可以幹嘛:


1988年,這年出了奧數史上最難的一道題目:

對正整數a, b,如果(a^2+b^2)/(ab+1)也是整數,則後者必定是完全平方數。



這聽起來很簡單的東西,把當時的出題組織都給難倒了,雖然負責出題的人有給出證明,

說服了其他人,但既然大部分的專家都做不出來,那一定是好題目,於是就真的把這題放

入考試中了。

出乎意料的是,在268個考生中,竟然還是有11個考生正確無誤的解出!

而且這道題目的解法,完全不需要微積分、三角函數、離散數學、線性代數,

他只需要使用一條定理,與一條演算法就可以解決:


韋達定理:二次函數axx+bx+c的二根和=-b/a, 二根積=c/a

無窮遞降法:假設一個問題有解,永遠有另外一個更小的解,當這種情況發生時,
最小答案必定是0(而往往會得到矛盾的結果)


韋達定理是大多數國中數學就會額外補充的,證明本身也不複雜

無窮遞降法更是早在上古時代就有人拿去嗆自己老師,落得自己被推落海中的慘案,

沒錯,就是那個希帕索斯。


這樁悲劇是怎麼發生的呢?那就要把話題延伸一下,來講一下畢達哥拉斯以及他愉快的門

徒。

眾所皆知,畢達哥拉斯證明了畢氏定理,他更是一個宗教家,堅信「萬物皆數」的法則,

而在他的理論上,所有的數字都可以找到「共度」的結果,

什麼是共度?假設今天有個長方形,長邊121公分,短邊33公分,我們可以把這個長方形

切割成很多個邊長為11公分的正方形,這時候我們說121、33被11共度。

很難理解?沒關係,我們白話翻譯一下:「所有的數字都是有理數」


想當然耳,只要有上國中數學就知道這句話在唬爛,而希帕索斯當年就這樣說了:

「如果正方形的邊長與對角線可以共度,那我們把這個正方形沿著對角線切割成4個等腰 直角三角形,因為相似的觀念,他們也可以被同樣的線段共度。
這個切割後相似的動作可以無限地進行下去,每次都還是能用相同的線段共度,
所以,這個共度線段的長度,長度必定是0!」

當他把這個證明拿去給他的老師看之後,就被推落海中了,堪稱數學史上最大的汙點之一



當韋達定理碰上無窮遞降法,這就是當年奧數的奇蹟,史稱「韋達跳躍」。

簡單記述如下:

如果存在某個k,(a^2+b^2)/(ab+1)=k,k不是完全平方數,則

那我們找這些可行的a, b裡面最小的一組,不失一般性,令a >= b,

這時:

a^2 + b^2 = kab + k, a^2 -(kb)a + (b^2-k)=0

這時候我們就會發現,a是:

x^2 - kbx + (b^2-k) = 0 的其中一解,至於另外一個解,我們叫他做A吧。

由韋達定理,

A = kb - a = (b^2-k)/a。

請注意,因為一開始就說k不是完全平方數,所以A是非0整數。


現在把A帶回去原本的式子,我們就得到(A^2+b^2)/(Ab+1)=k>0,

這裡可以保證A必定是正(不然k就是負的,不合理),


我們剛才又說過,A=(b^2-k)/a,但是一開始的假設裡面a>=b,所以

(b^2-k)/a < b^2/a <= a

由這裡會發現,A<a,可是A也滿足(A^2+b^2)/(ab+1)=k,

但我們一開始就說(a,b)是滿足這個條件裡面,a+b最小的一組,

這不可能再發現一組更小的答案才對,我們卻發現了,

這代表矛盾發生,從而反論「存在k不是完全平方數」,Q.E.D.







結論:韋達跳躍起來可以解決很多看似複雜的證明。謝謝觀看。

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風急天高猿嘯哀,渚清沙白鳥飛回。
無邊落木蕭蕭下,不盡長江滾滾來。
萬里悲秋常作客,百年多病獨登臺。
艱難苦恨繁霜鬢,潦倒新停濁酒杯。

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kisweet99901/10 14:46你認真了... 真的

windr01/10 14:49????

xxxrecoil01/10 14:50蛤?

wuwuandy01/10 14:58中間的 A>=B 寫成大寫了

感謝更正

※ 編輯: nahsnib (120.104.2.118 臺灣), 01/10/2022 14:59:25

shadow032601/10 14:59推一下==

ScottHulu01/10 15:16

TetsuNoTori01/10 17:09看不懂,反正先推了再說