[爆卦] 中學生團隊擴展百年數學定理

https://arxiv.org/pdf/2409.03639

門格海綿是Karl Menger在1926年提出的多孔泡沫狀分形結構，常被用來模擬避震器和特殊時空形式。建構時從立方體開始，移除位於其中心及六個面中心的立方體。然後對剩下的20個立方體重複此過程。每次迭代中，間隙會呈指數級增加，立方體的形狀體積會減到零，表面積無限增大，最終形狀類似海綿。
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Menger在1926年證明任何曲線都可以變形然後嵌入海綿，也就是說門格海綿是通用曲線。多倫多大學的Malors Espinosa決定和他指導的中學生:Joshua Broden、Noah Nazareth和Niko Voth一起用課餘時間擴展Menger的證明。

Menger已證明可以在海綿中找到任意的圓。中學生小組想證明門格海綿中可以找到任何的結。他們的目標類似於用根針穿過一團灰塵，也就是海綿經過多次移除後剩下的部分。他們必須將針插在正確位置並精確地打結，而且不能離開海綿。如果線因為任何結而漂浮在縫隙中就會失敗。

他們發現繩結可以表示為平面上的特殊圖表-弧表示，為此必須了解結的各股如何前後移動，然後運用一套規則將這些資訊轉換為網格上的點。網格每一行和列都包含兩點。用水平和垂直線連接這些點。每當兩線段交叉時，將垂直線畫在水平線之上。這時就可以把弧線的水平線放在海綿的面上，把垂直線放在海綿的另一個面上。

接著要將結拉回三維空間，在弧線的每個轉角處都需要透過海綿內部將兩個面連接起來，避免碰到洞。為此團隊想到門格海綿的一維模擬-康托爾集，他們發現海綿面上座標在康托爾集中的點不應有洞，這些點的正後方也不應有洞。因此結可以穿過海綿而不會跳出。

最後學生們證明可以對任何弧線進行變形，使其垂直線段和水平線段的交叉點都在康托爾集中。這就自動保證了更多角落也會與康托爾集對齊。也就是說，他們總是能將給定的結嵌入門格海綿的某個迭代中。

三名中學生畢業後，團隊中的Broden在大學課餘時間又和Malors研究另一個問題:"所有結是否能嵌入門格海綿的四面體版本中？"，數週後他們就發現屬於三葉結的pretzel結都能映射到四面體版本的門格海棉。

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