[爆卦] 趙宇飛團隊解決了等角線數最大值難題

jackliao1990 發表於 2021/10/18 下午2:15:18

看板Gossiping標題[爆卦] 趙宇飛團隊解決了等角線數最大值難題作者

jackliao1990

(j)時間Oct 18 14:15:18 2021推噓 7 推:15 噓:8 →:7

https://annals.math.princeton.edu/articles/18190
https://arxiv.org/pdf/1907.12466.pdf

等角線數最大值問題是指"在給定角度的情況下，所有足夠大的任意維度空間中，等角線數的最大值是多少?"。這個問題困擾了數學家70多年。上個月底,頂尖期刊《數學年刊》經過兩年審稿,最終確定麻省理工助理教授趙宇飛團隊的研究完全解決了這個難題。

穿過一點的一組直線，如果兩條之間的夾角都相等,則這組直線就是等角線。二維平面上我們最多能用三條相交於一點的直線將平面分為六個夾角,每個夾角皆為60度。然而如果推廣到更高維空間,問題會變得非常困難。

數十年來數學家只得到的d維空間最大值上界=(d^2+d)/2,直到2017年,Benny Sudakov才用圖論的方法取得突破-他建立一個圖，向量是圖中的點。如果向量內積為正，邊就是紅色；內積為負，邊就是藍色。如此就能用矩陣表示高維等角線。通過將拉姆齊定理用於等角線難題，Sudakov證明："對任何d維的圖，在特定角度（約70.7度）下，等角線最大值是2d-2；對於其他角度，最大值不超過1.93d。"

Sudakov的成果只是縮小了最大值範圍,並沒有完全解決問題。2018年Sudakov來麻省理工訪問後,趙宇飛決定將這問題做為2019年MIT數學系的暑期研究項目。他和他的學生姜子麟(2017年解決困擾學界40多年的球帶猜想)、張盛桐(2016年奧林匹亞數學金牌)、姚遠(2016年奧林匹亞數學金牌,滿分)和Jonathan Tidor組成了五人小組,9月初他們將成果投稿到《數學年刊》,兩年後論文被接受。

他們在研究中提出一個新定理:"有界度圖必須具有劣線性第二特徵值二元數"。依據新定理,他們給出了問題解答:"若數值a滿足0＜a＜1，設d維圖中等角線數最大值為N,k為鄰接矩陣譜半徑為(1-α)/(2a)的圖的最小頂點數。那麼對於所有足夠大的d，N(d)=k(d-1)/(k-1)；若否,N(d)=d+o(d)。"

等角線在信息編碼和傳輸中都有應用-數學家將信息打包成球形編碼(把信息放在高維幾何球體的經緯坐標點上)。如果不同點間的距離夠遠又有規律，這時只要找到等角線就能找出用來編碼信息的最佳效果點，這樣即使接收方受到雜訊干擾，也不容易將兩點內容搞混。

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kgb1019 10/18 14:15嗯嗯跟樓下想的一樣

噓

aad784900 10/18 14:16？

推

bill403777 10/18 14:16嗯嗯跟我想得差不多

噓

Usayhiisayha 10/18 14:16幹你娘那麼簡單想這麼久