[問卦] 數學公式要怎麼推導？

阿肥剛剛在想微積分的事情，想說自己拿筆推推看。
第一個拿來開刀練習的是多項式的導數。
Q: Given f(x) = x^2, find its derivative.
A:
1. lim (f(x+h) - f(x)) / h, where h approches to 0
2. plug x^2 in the function, we have
((x + h)^2 - x^2) / h
which is equivalent to:
(x^2 + 2xh + h^2 - x^2) / h
=h(2x+h) / h
=2x+h

because h approches to 0, we plug 0 to h, which
gives us 2x

Therefore 2x is the derivative.
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翻譯如下（說真的用中文寫數學好痛苦）：

問題：給定一個函數f(x) = x^2，找出它的導數。
1. 極限(f(x+h) - f(x)) / h，h會逼近於0
2. 帶入函數x^2，我們可以得到
((x + h)^2 - x^2) / h
這個式子等價於：
(x^2 + 2xh + h^2 - x^2) / h
=h(2x+h) / h
=2x+h

因為h逼近於0，所以我們把0帶入h，這讓我們得
到2x。
所以2x就是f(x)=x^2的導數。
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我想問的事情是，我這一套搬到指數函數f(x)=a^x
就不管用了。到底數學家怎麼想出辦法推導公式的
真的很神奇，我很想學會。

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指數函數好像跟Euler Number有密切關係，謝謝你給我這個方向。

我知道找得到答案，我只是在練習思考而已。