Re: [聊天] 試算200天井實裝後 期望抽數的改變

※ 引述《phoenix286 (糰子大家族)》之銘言：
: 本來也想算碎片抽的機率分布...
: 但是獎勵碎片有五種結果(0,1,5,20,40) 就不是簡單的二項分布了
: 有人知道要怎麼算嗎?
:
: 推 smart0eddie: 不是啊 你可以算出每抽碎片期望值 這樣就能算抽數了? 03/26 00:32: 這裡分兩種層面來看
: 1. 單純看碎片抽的期望抽數
: 簡單的估算是 期望抽數 = 145/每抽期望碎片
: 但是直接相除 好像還少考慮了什麼
你們的直覺其實是對的，真的要說少的話，只是少引了一個定理
Elementary renewal theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Renewal_theory#Elementary_renewal_theorem

不過我想這個也不是我們感興趣的結果。
大家比較感興趣的是下面這個復刻池的期望抽數

: 2. 整個復刻池的期望抽數
: 這個需要結合兩個相依的機率分布 又更麻煩了
: → mathtsai: 回樓上 你要算上 抽or鍊成 這個要手算也太困難 03/26 00:35

現在的問題：如果我想把我老婆聖誕克莉絲從這次復刻池抽出來，
需要抽數的期望值是多少？

喔對了，這是個假設性問題。因為去年我婆卡池一開我就把她抽出來了

復刻池可以看成兩種獨立的池 (1) 抽人的池 (2) 抽碎片的池

抽人的池拿邊很簡單，跟一般PU池差不多，只是機率變成 p = 0.00175

碎片這邊比較複雜，先讓我們看有碎片的獎項：

獎項 碎片 機率
一等獎 40 p1 = 0.005
二等獎 20 p2 = 0.01
三等獎 5 p3 = 0.05
四等獎 1 p4 = 0.10

好，然後呢，讓我們定義兩個隨機變數 X,Y：

X = 抽人的池，抽出克莉絲需要的抽數
Y = 抽碎片的池，抽到的碎片量達到145的抽數

最後呢，定義復刻池抽出克莉絲需要的抽數 Z：

Z = min(X,Y)

反正就是哪個池先達到弄出一個克莉絲，就是我們需要的抽數

而上面那個問題其實就是在問 E[Z]

這邊呢，我跟大家介紹一個計算非負整數隨機變數期望值的公式
∞
E[Z] = Σ P(Z > n)
n=0
這個很方便喔 算這種抽抽問題也滿實用

然後呢：
P(Z > n) = P(min(X,Y) > n)

= P( X > n and Y > n)

= P(X > n) P( Y > n ) (抽人池和抽碎片池是獨立池)

X部分很好算，而且只有 n<300 的時候大於零 ：
P(X > n) = (1-p)^n n = 0~299
= 0 otherwise

所以：

∞
E[Z] = Σ P(Z > n)
n=0
∞
= Σ P(X > n) P(Y > n)
n=0

299 <----- 不用算到無窮囉 耶!
= Σ (1-p)^n P(Y > n)
n=0

那 P(Y > n) 是多少呢？

我們定義四個隨機變數 N1(n),N2(n),N4(n),N4(n)：
N1(n): 抽碎片池的前n抽中，一等獎的個數
N2(n): 抽碎片池的前n抽中，二等獎的個數
N3(n): 抽碎片池的前n抽中，三等獎的個數
N4(n): 抽碎片池的前n抽中，四等獎的個數

P(Y>n) = P(碎片池前n抽碎片量不足以合成克莉絲)

= P( 40*N1(n)+20*N2(n)+5*N3(n)+1*N4(n) ≦ 144 )

我想板上佑樹普遍水準應該都不錯，下面這個自己應該算得出來

For any non-negative k1,k2,k3,k4 and k1+k2+k3+k4 <= n

P( N1(n)=k1, N2(n)=k2, N3(n)=k3 , N4(n)=k4)

= n!/(k1!k2!k3!k4!(n-k1-k2-k3-k4)!) *
p1^k1 p2^k2 p3^k3 p4^k4 (1-p1-p2-p3-p4)^(n-k1-k2-k3-k4)

而 P( 40*N1(n)+20*N2(n)+10*N3(n)+1*N4(n) ≦ 144 )

= Σ P(N1(n)=k1, N2(n)=k2, N3(n)=k3 , N4(n)=k4)
(k1,k2,k3,k4) in A(n)

where A(n) = {(k1,k2,k3,k4) | k1,k2,k3,k4 >=0, k1+k2+k3+k4 <= n,
40*k1+20*k2+5*k3+1*k4 ≦ 144 }

所以這樣就可以算 E[Z] 了

我算出來是 E[Z] = 167.62

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https://pbs.twimg.com/media/EwSsY_jVEAkCEgJ.jpg

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你說得沒錯 我程式裡面寫對 上面打錯

min(X,Y) 這個量就是取 X,Y 中比較小的值 所以 min(X,Y) > n 就等同於在說 X,Y 都大於 n

喔 我其實不知道哪些可以哪些不行XD 不能碎片合成的話其實就跟一般PU池類似

我用蒙地卡羅跑出來的結果跟上面一樣喔 import random from numba import njit, prange p = 0.00175; p1 = 0.005; p2 = 0.01; p3 = 0.05; p4 = 0.1; P1 = 0 + p1; P2 = P1 + p2; P3 = P2 + p3; P4 = P3 + p4; @njit(parallel=True) def montecarlo(nSample): result = np.zeros(nSample); for i in prange(nSample): nDraw = 0; nShard = 0; while (nDraw < 300): nDraw +=1; if (random.random()<p): break pN = random.random(); if (pN < P1): nShard += 40; elif (pN<P2): nShard += 20; elif (pN<P3): nShard += 5; elif (pN < P4): nShard += 1; if (nShard >= 145): break result[i] = nDraw; return result N = 10000000 print(sum(montecarlo(N))/N)

這篇文章打的是理論值呀 萌帝卡蘿是模擬。我的code就貼在下面推文那邊

那個是理論值啊 就上面文章寫的方式算出來的