[心得] 數研所心得

版上關於數學系的文比較少，這篇主要可以讓想自學念數研所的人念的時候

比較有方向一點。

我自己的背景是物理系跨考的。

1.成績
高微 線代 代數
台大 54 55 50 正3
清大 68 54 正取
交大 27 81 正取
成大 63 63 正6

2.準備過程

高等微積分:

Youtuber 推薦: Arthur Parzygnat, Shifrin
講義: (Rudin) George M. Bergman
(Spivak) GOOGLE Calculus on Manifolds+errata

(上) Baby Rudin(大概花6個月)

這本書是出了名的難讀，初學上手很容易不知從何下手，第一章開門見山地介紹

了實數系，第一個證明寫了根號2是無理數的證明引入實數系的觀念，然後你就想放棄了.

這本書是設計成後面的習題全部或80%以上都是要寫的，Bergman教授的講義把第二到第七

章的習題分類引導給Hint，讓你對每一題的想法比較有方向，推薦從引導下手，否則很快

就會想放棄這本書的。

個人是推薦了解第一章的Least Upper Bound. Archimedean Property 就可以前往第二章

了，後面實數系的建構當然也很重要，可以學了一陣子以後再回來看更清楚。第三章有介

紹另一種實數的定義，我自己是先理解了第三章的那個定義，然後再回來念這部分。

第二章的Topolgy跟第三章的Limit基本上貫穿了整本書的內容，我自己是在這兩章卡了兩

三個月，實在是非常重要的章節，每題的epilson-delta 都要好好的練一次，對於後面的

章節都非常大的幫助，念這兩章是我自己最灰心的時候，擔心自己以這樣的進度會不會念

不完。只要你前面的內容後面的習題都有好好做一遍，後面的章節會過得非常順。

第四五六七章連續.微分.積分.函數列

由於前面的兩章你都巨細靡遺的寫過了，這幾章的內容已經開始可以慢慢的在腦袋裡寫

eplison-delta了，因此速度會比較快，但切記如果你覺得哪裡有點模糊疑惑或者沒辦法

自己在腦袋馬上想到eplison-dealta 的證明都是還要好好地寫下來，千萬不要偷懶。比

較難的證明大概是Weierstrass approximation，那個加權平均的概念，是非常重要的一

個證明，可以上網參考陳金次老師的那堂課，有說明了這個定理要證明什麼東西，以及廣

義版本的證明想法。

不難理解為甚麼這本書為什麼這麼被廣為流傳，是訓練邏輯思考跟數學語言的一本非常好

的工具，第二三章是邏輯的出發點，以實數系為例子去推演出後面四章的內容，習題是本

書非常重要的一環，認真的做一定會有收穫的，遇到卡住的習題，看不看解答是個Trade

off，如果覺得自己進度差非常多了，那給自己一兩天的時間想，想不到就翻解答，如果

時間還很充裕，建議多想個幾天，通常要想幾天的題目，都是重要的觀念，或者可以上

mathstack查，因為Rudin這本書實在太有名了，基本上每題比較難或者講義過得比較快比

較難的地方，上面有很多人問過了。你不是唯一一個不會的人，因此不用念的太灰心。

(下)Calculus on Manifold (Spivak)(兩個月到三個月)

這本書須看完Baby Rudin 及 線性代數學起來會比較輕鬆

這本書100多頁，相同的內容，大概是另外一本書(Munkres)的三分之一，由此可見，作者

實在寫得非常地terse，對於很多地方都沒有做過多的交代，念的會一肚子火，符號也不

是非常整齊，基本上我個人是覺得他寫的感覺像是念完多變數以後他期望學生學會的

Syallabus(為他的下一本書鋪路)。本書的錯誤不少，網路上有整理了一堆上面寫得不太

嚴謹或錯誤的地方，摁 其實不只這本書，我相信很多的書都這樣，算是小缺點。

第二三章搭配著Arthur Parzygnat的影片去讀，上面講述了定理的想法證明的思路等等，

幫助非常大，像是用Diagram的想法去看Chain Rule的證明，非常簡潔。

第四章，我自己看Shifrin在Youtube的教學影片學會pull back 跟tensor定義，因此就喜

歡上他的觀點了，Shifrin對於很多的概念有比較直觀(i.e. 物理上)的解釋，對於第一次

學多變數的人是比較好的教材，抽象性雖然比較低，但根本上的內容是差不多的，而且讓

你看到題目的時候比較不會不知所措。個人是推薦照著Spivak的骨幹去看Shifrin的書，

否則很容易學了一堆定理但是看到題目卻什麼也不會。除此之外，這章的Differential

forms and integration推薦看陶哲軒在UCLA的上課講義，對於整套的抽象符號有比較直

觀的解釋。

這本書(Spivak)，花我最多時間的地方，大概就是在Partition of Unity的部分，我自己

第一次看沒怎麼看懂，查了一大堆資料後，發現Spivak算是講得最不"拓樸"的，他應該是

不想引用任何的拓樸觀念去處理，所以會讓人學得有點霧裡看花的感覺。然後這本書考試

前我只寫到了第四章的習題，及念完第五章的內容，因此基本上也只會處理基本的多變數

積分...還好大部分的學校也只考了一題。

然後這本書的講義內容是假設你已經寫完前面章節的習題上去寫的，因此盡量要寫完習題

在進下一章，當然要遇到的時候在跳回去也可以拉，看得懂即可。

如果時間可以倒流，我會直接選Shifrin或者Munkres，然後再讀這本。

線性代數(Linear Algebra by Friedberg)(四個月左右)

Youtuber 推薦: 3B1B

這科剛開始唸時，要問著自己一個哲學問題

到底甚麼是線性代數?

當然每個人的觀點可能都不太一樣，我想重要的是有自己的觀點，然後你的想法是

可以對應上抽象的定義即可。

這本書的習題大部分難度都不高，習題本身的意義比做出來重要。

第一二章的習題大部分可以用基礎的集合論以及定義推出來的，要懂得這個抽象的定義是

在描述什麼東西，需花不少時間去想，也可以GOOGLE "名詞"+"intuition"去搜尋，會發

現新世界。

第三四章有點繁瑣，課本內容讀懂，習題挑順眼的做即可，建議在這裡要記or懂det函數的

定義算是個重要的觀念。

第五章算是本書最難的章節，老實說我也不是弄得非常懂，基本的課本內容，後面的習題

全刷就可以讓你走下去了。是說今年台大有考了一個裡面的大題組(試題卷的最後一題)，

裡面大概分成7題去拆解，是整本書難的非常有印像的題組，第二次讀的時候也沒弄出來，

因此只能把分數還給老師了。

第六章的2.3.4.5.6小節是一氣呵成的章節，可以一起念完在寫題目，因為題目實在

太多了，我就上台大的線性代數某年的課程網頁，把他們寫過的功課寫過而已，再加上一

些自己覺得有趣的題目。Btw台大勾的題目的數量是最多的，國外的學校勾比較少題。

這章我自己是略過了9.10.11小節，第8節的內容學完Spivak第四章的Tensor定義後回來

看會更有概念。

第七章，本章的內容建立在Cayley-Hamilton上，因為時間關係跳過了第四小節。

Minimal Poly. 實在是非常重要的概念，基本上濃縮了第五章的內容，考前遇到第五章的

概念或習題都會想用這個概念去做。

代數(Abstract Algebra by Dummit and Foote)(四個月左右)

Youtuber 推薦:Matthew Salomone

很慚愧地只念了群跟環(1234578章)就上去考試了，跟線性代數的念法有點像，這個抽象

的定義在描述什麼直觀的東西，都是需要知道的，書上也有許多例子去讓你參考，線性代

數的基礎是必須的，很多例子都是建立在線性代數上的。這本書習題那個鬼神數量，實在

讓人很難下手，因此我大概是念完所有內容後，去看考古題，然後找出重要的習題去練。

然後上考場開始默寫，這科的重點就是台大數學系網頁裡有個碩士班考試書裡面有給

Syllabus那些差不多就是你要會的或者重要的。

3.結語

我自己是希望考試中，只要你敢出課本上的習題或內容，我就敢寫出來給你看，達成率大

概有8到9成。整套數學的旅程我自己是跑了200多天，過程中，除了代數以外，完全完全

不建議看著考古題學，因為看著考古題學很容易抄捷徑，想說不考就輕輕帶過，小小的觀

念模糊都會在後面一直放大而影響後面的學習

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竟然都提了，講一下好了，每間學校考卷上一定會有超出這些範圍的題目 但只要把握住Rudin 跟線代 裡面的內容，基本上一定會有四大可以念。 至於台大因為是篩分數的關係，其實有點看運氣。 然後是跨考生要認命，要扎扎實實的念完所有可能的範圍，時間上不到一年 至少以我的智商是不夠的。 因此把握自己能做的到事，努力去做就可以。 個人想法，僅供參考。

真的不錯，講了很多好玩的東西。

...先不要

對理論比較有興趣，越念越想往數學念差不多是這樣。