Re: [心得] 最差的30年rolling return，到底有多差?

※ 引述《daze (一期一會)》之銘言：
: 最近看到了些談 30-year rolling return 的文章
: 突然想到，最差的30年rolling return，到底有多差?
: ===
: 考慮某投資，假設其年報酬率為獨立同分佈，且服從對數常態分佈。
: (這裡假設了分佈的型態，但並不對μ跟σ做估計。)
: 問: 該投資未來三十年的累積報酬率，低於過去一百年間的 30-year rolling return: 之最小值的機率有多少?
: 這個問題也許有解析解，但我數學不太好，就直接用蒙地卡羅法模擬看看。
: 我模擬的結果是大約 12%。
: ===
: 這裡的前提，「獨立同分佈+對數常態分佈」是非常強的假設
: 這個模擬的結果，不見得能適用於現實
: 但「過去100年的 30-year rolling return」雖然看似足足有71組數字
: 對於從中得到的一些觀察
: 或許可以再思考看看要給予多少信心

小弟剛好對這頗有興趣

以下是一點拙見：

----------------------------------------------

1. 為什麼股價是對數常態，而不是常態分佈？

常態分佈的數值本身沒有上下限

可以說，負無限和正無限都有機率發生(當然機率很小很小)

但這對股價來說是不對的，因為股價都是正值、最小值就是0

用對數常態來描述股價就能解決這個問題

對數常態另一個重要理由就是數學好描述

實際上，真實股價比對數常態分佈有更多極值(大漲大跌)出現

----------------------------------------------

2. 報酬是常態分布嗎？

這其實對了一半

在股價是對數常態分佈的假設下(其實誰是因誰是果有點難說)

對報酬 x 而言

正確解答是他的對數 ln(1+x) 是常態分布

但當x不太大的時候，ln(1+x) 近似 x

所以報酬x不大的話(1%、2%之類的)，可以說報酬近似於常態分布

但報酬很大的時候(-50%)，這個近似就不成立、報酬就不是常態分布

這也可以從報酬有最小值(-100%)看出來報酬不完全是常態分布

----------------------------------------------

3. 回到原po的問題

"下一個 30-year rolling return 比前100年的最差的30-year rolling return 還差的機率是多少"

首先，前100年的最差30-year rolling return

我的理解是

前100年當中、任一個連續30年的return

因此如原po所說，有71個不同的連續30年(1-30年，一直到71-100)

如原po所說，這個解析解似乎相當困難

但有個方便粗略估計的方法

就是這100年中，有至少3個不重疊、也就是互相獨立的30年

這問題可以簡化成像是，擲完3次骰子，再擲一次會比前3次都小的機率

(骰子可能不是很好的例子，因為會有相同數值的時候...)

那這個的解是25% (並且這與是什麼分佈完全無關)

這當然是個會高估的粗估，因為還少算過去100年裡的一個10年

然後還有其他71-3=68個有重疊、不完全獨立的30年

如原po所說，更準確的解大概就只能靠蒙地卡羅了

我也得到跟原po一樣的數字、11.9 +/- 0.1 %

與mu和sigma無關

----------------------------------------------

以上一點淺見

感謝daze大分享如此有趣的問題 :)

--