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Re: [問卦] 三扇門的問題 33.3% or 50%

看板Gossiping標題Re: [問卦] 三扇門的問題 33.3% or 50%作者
raincole
(冷魚)
時間推噓 X 推:13 噓:15 →:96

雖然這是早有定論的問題

不過看一下前面推文發現很多人其實不懂為什麼是 2/3,只是死背這個結論
然後拿死背的結論瞧不起 taiwanrules 這樣明顯有認真思考但是還沒搞懂的人...


考慮以下變形:

A) 你選一扇門,主持人從台下叫一個觀眾來任選一扇門打開,發現裡面是羊

B) 你選一扇門,主持人知道哪扇門是羊並刻意開羊門,但你不知道主持人
知道是哪扇門


其他與原題相同

那這兩個題目裡,對你而言換門得到車的機率分別是多少呢?













答案:都是 1/2

認為其中任何一題是 2/3 的人,很不幸就是開頭講的那種死背答案的人...

沒錯,在這兩個情況裡,你看到門打開的瞬間,你中獎的機率就從 1/3 提高到 1/2 了

絕對不是推文中有些人解釋的「一旦選了機率不會變」




最後套用一下 taiwanrules 的抽籤問題吧

現在有十個同學每人抽一支籤,其中一個是車籤

然後一個一個把籤打開

前面八個打開都是羊籤,最後剩下你和 A 同學

這種情況下兩人都是 1/2

我想這大家都沒有爭議


現在考慮另一種情況

有十個同學每人抽一支籤,其中一個是車籤

突然有個老師走過來,看了你們所有人的籤

然後打開八個人都是羊籤,剩下你和 A 同學

這種情況下,對你而言,你該和 A 同學換籤嗎?






















答案:換不換都沒差,都是 1/2

如果覺得換了會變成 9/10 的人真的沒資格笑 taiwanrules,因為人家至少試圖去搞
懂,而不是死背答案




好,那麼到底什麼情況才是跟原題目一樣換了會提高機率?

考慮以下問題:

十個同學抽十支籤,其中一支是車籤

你事先知道此時老師會來看所有人的籤,並打開八張羊籤,「而且這八人絕對
不包括你」


最後剩下你和 A 同學

此時對你而言換了是 9/10,不換是 1/10

只有這種你事先知道的情況下,才能跟原題目套用一樣的邏輯!






如果還是不懂為什麼「事先知道主持人一定會開一扇羊門」這件事情是關鍵的

可以想想這個變體:

沒有主持人,你先選了一扇門

然後你隨機打開另一扇門,發現是羊

現在對你而言,一開始選的那扇門,和最後剩下的那扇門的機率有不同嗎?

如果要堅持覺得這樣還是 1/3 和 2/3 的,我也沒辦法解釋得更清楚了

你可以看看英文版的維基百科裡寫的各種變體裡機率如何改變











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※ PTT 留言評論
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.134.90.98 (臺灣)
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※ 編輯: raincole (220.134.90.98 臺灣), 08/16/2021 07:36:13

batista5566 08/16 07:36推,一堆先射箭再畫靶

lits5 08/16 07:36怎麼不投數學期刊讓大家看看你的高見?

dogbydog 08/16 07:37B裡面 本來就知道有兩隻羊

dogbydog 08/16 07:38主持人開了我不知道的門有羊 跟遊戲認知

dogbydog 08/16 07:38一模一樣 為何會改變機率?

joyous1213 08/16 07:39條件機率不就題目給的情境算在條件嘛

dogbydog 08/16 07:39反過來開了有車的門 我一樣不清楚哪扇門

dogbydog 08/16 07:39但透露資訊跟遊戲本身提供的沒有改變

raincole 08/16 07:39首先這不是什麼高見 而是機率本來就是這

raincole 08/16 07:40樣 這跟原題目換門是2/3是完全一致的

raincole 08/16 07:41原題目的條件是非常嚴謹的:你必須事先

garry5566 08/16 07:41第一個問題, 不換門的機率是不是也是

garry5566 08/16 07:411/2?

raincole 08/16 07:41知道「主持人開羊門」絕對會發生

raincole 08/16 07:42如果你看到任何題目變體不符合這條件

raincole 08/16 07:42就不能直接套用原題目的邏輯

AbdulRauf 08/16 07:43自以為聰明的笨蛋跟知道自己的笨蛋哪個

AbdulRauf 08/16 07:43比較笨?

raincole 08/16 07:43如果你不知道「主持人知道哪扇是羊並一

nixing 08/16 07:431/2沒錯,你自己列出所有的可能就知道了,

nixing 08/16 07:44換不換都1/2

raincole 08/16 07:44定會開羊」 那主持人開和路人開是一樣的

virnux 08/16 07:44那A同學也事先知道老師會來看籤然後打開八

lits5 08/16 07:45老師打開籤的那兩個情境,從頭到尾做了一

lits5 08/16 07:45樣的事情,結果你說機率會不一樣,您真是

lits5 08/16 07:45數學奇才。

virnux 08/16 07:45張沒中的呢? 你換跟不換

raincole 08/16 07:45是的 機率就是客觀上一樣的步驟 會因為

raincole 08/16 07:45主觀上知道的資訊 而對特定人有所不同

raincole 08/16 07:46這就是機率最基本的原理

lits5 08/16 07:46還在1/2沒錯的同學,自己實際做100次實驗

raincole 08/16 07:46virnux 的情況就是對於雙方而言 機率都

lits5 08/16 07:46,看實際中獎機率是不是接近1/2吧。

raincole 08/16 07:47是換了更好 這並沒有任何矛盾 考慮極端

raincole 08/16 07:47情況:A直接偷看了籤 知道他是羊 這時

raincole 08/16 07:48對他而言換了是100% 但對沒偷看的你並不

rex9999 08/16 07:48主持人永開羊門。 剩下的就只有一車一

rex9999 08/16 07:48

raincole 08/16 07:48是 同樣的客觀情況對有不同資訊的人 機

raincole 08/16 07:49率是不同的 這就是為什麼文中要上色

raincole 08/16 07:49「對你而言」這幾個字

sleepboa 08/16 07:52這篇在供三小?直接畫圖有那麼難?把所

sleepboa 08/16 07:52有排列組合畫出來不就很清楚?

virnux 08/16 07:54可以確定換了機率會提高沒錯 但是是提高到

virnux 08/16 07:55多少 兩個人都是先知道的情況下

virnux 08/16 07:56應該是提高到五成吧

raincole 08/16 07:57「對你而言」是提高到 9/10

virnux 08/16 08:00對A而言也是提高到九成 可是做實驗的話兩

virnux 08/16 08:00個人的中獎率都會是靠近九成嗎

raincole 08/16 08:01對客觀的第三者而言才是1/2

zxcvbnmnbvcx 08/16 08:02原來這個有前提…難怪我想不通….

raincole 08/16 08:02你得接受「對有限資訊的某人的機率」

rex9999 08/16 08:03 https://i.imgur.com/jS2O61h.jpg

※ 編輯: raincole (220.134.90.98 臺灣), 08/16/2021 08:07:15 ※ 編輯: raincole (220.134.90.98 臺灣), 08/16/2021 08:07:39

raincole 08/16 08:07不過 virnux 讓我發現我原文中一個不嚴

raincole 08/16 08:08謹的地方 我改了一下 virnux 你看看這樣

virnux 08/16 08:08每次都a同學跟你互賭的話 應該是1/2吧

raincole 08/16 08:09你是否能接受「對你而言」的機率觀念了

virnux 08/16 08:09我知道你在講甚麼 但我覺得有些地方怪怪的

e1q3z9c7 08/16 08:09為什麼會有這麼多人一本正經的胡扯

virnux 08/16 08:09因為總是你跟a同學兩個在賭

virnux 08/16 08:09可能a同學改成某個同學會好一點?

你的確抓到了我原文一個疏漏,確實這個 A 同學有一點歧異 明確一點說,要完全套用原本三門問題的邏輯 你得事先知道「老師一定會開八張羊籤,而且這八張絕對不會包括你的」 就像原三門問題的參賽者知道主持人一定會開一羊門,而且不會開他本來選的 這樣的情況是換 9/10,不換 1/10 但是寫成 A 同學可能會讓人誤解成你知道的是 「老師一定會開八張羊籤,而且這八張絕對不會包括你,也不會包括A」 這樣就變成你講的 1/2 了,因為這有這資訊相當於一開始就知道會剩哪兩個人 等於對你而言一開始就是二選一

※ 編輯: raincole (220.134.90.98 臺灣), 08/16/2021 08:14:09

s0914714 08/16 08:11這篇很正確阿 資訊有沒有揭露會左右機率

virnux 08/16 08:12我剛剛講提高到五成是想成 一直跟a賭所以

virnux 08/16 08:13我跟A這個特定人的中獎率都是五成

winiS 08/16 08:13蒙提霍爾是從節目來的,觀眾本來就知道有這

winiS 08/16 08:14橋段,硬要加前提去凹 真的是taiwanrules Y

s0914714 08/16 08:14而且主持人是不是隨機選也有差

raincole 08/16 08:14virnux 你想的方向沒錯 是我語言有歧異

virnux 08/16 08:15你這樣講 你知道老師不會開你 A也會知道老

virnux 08/16 08:15師不會開他的 所以我才會想成五成

以下的 A B 是特定同學 十人抽完後老師開八張剩下 A B A事先知道老師不會開A,但不知道老師不會開B 在A看來,A中獎率是1/10,B是9/10 B事先知道老師不會開B,但不知道老師不會開A 在B看來,B中獎率是1/10,A是9/10 客觀第三人只事先知道老師會開八張 在客觀第三人看來,AB中獎率相同

winiS 08/16 08:15就跟硬凹不用戴口罩 前提是口罩不夠一樣嗨

taiwanrules 原本的舉例當然是與原題邏輯不同 但我不認為他是故意硬凹,而是他真心不知道「觀眾事先知道」這個條件有多重要 才會覺得去掉也沒關係 你可以看看整個討論串中有多少知道原題是 2/3 卻不知道關鍵是事先知道的...XD

agario 08/16 08:15rex9999的樹狀圖根本錯誤,走到最右邊的

agario 08/16 08:15時候車在哪個門後面已經決定了

※ 編輯: raincole (220.134.90.98 臺灣), 08/16/2021 08:22:18

agario 08/16 08:16所以最右邊的某個選項的中獎率

virnux 08/16 08:16難怪我就覺得你講的是對的 但是又哪邊怪

agario 08/16 08:16不是100%就是0%,怎麼會是1/2

virnux 08/16 08:16怪的

zx930217 08/16 08:16這篇的命題就是把原本固定的主持人必不

zx930217 08/16 08:17開車門改成隨機開門 然後再把開到羊的

zx930217 08/16 08:17事件給定 這是在文字遊戲吧

virnux 08/16 08:18不是文字遊戲 你知不知道哪些資訊就是有差

rex9999 08/16 08:18agario你搞不清楚「主持人永遠不開車門」

rex9999 08/16 08:19剩下的兩門 必定是一車一空

zx930217 08/16 08:21我知道啊 在這條件下是1/2沒錯

agario 08/16 08:23永遠不開車門根本沒影響,比如說圖的右上

agario 08/16 08:23switch to door 3 的中獎率明明是 0%

agario 08/16 08:23因為在那個當下,車早就在door1後面了

purplemagic 08/16 08:24感謝,想通了

winiS 08/16 08:26知不知道根本不是重點,重點在開了門沒有車

winiS 08/16 08:26你這篇也是在誤導,當「開門是羊」這件事成

winiS 08/16 08:26立,對於整個模型就有影響了

winiS 08/16 08:29除非加上開了門是車,但主持人會把車換走

agario 08/16 08:29只不過參賽者不知道自己在樹狀圖的何處

winiS 08/16 08:29變成三個門都是羊,否則整個模型都沒變

agario 08/16 08:30但參賽者知不知道,並不影響問要不要換的

agario 08/16 08:30那個時間點後的事,因為早就已經被決定了

rex9999 08/16 08:37你完全沒理解樹狀圖...那是換or不換的意

rex9999 08/16 08:39車在1,已開2 換3無、待1有

※ 編輯: raincole (220.134.90.98 臺灣), 08/16/2021 09:05:04

virnux 08/16 08:51我還是覺得講人好容易混淆哦

virnux 08/16 08:52用反覆做實驗的觀點來看 這把跟你決定要

virnux 08/16 08:52要不要換的a同學 跟下一把的a同學其實可能

virnux 08/16 08:53是不同人 但是我很容易就想成是跟同一個A

virnux 08/16 08:53一直對賭

ttknight 08/16 09:01又一個文組XD

show50475 08/16 09:03反正我都抽不到嗚嗚嗚嗚

raincole 08/16 09:11重點就是「一定會開羊門」這件事情是已

raincole 08/16 09:11知的 而不是隨機開一扇才發現是羊

raincole 08/16 09:11這是一個已經被充分探討的問題了 英文

raincole 08/16 09:12維基甚至直接就有寫隨機開的這個變體

raincole 08/16 09:12但還是有人堅持覺得事先是否知道沒差

raincole 08/16 09:17就只能說機率確實是不容易的 XD

stja 08/16 09:20

qwert3857 08/16 09:24文組

Chen334 08/16 09:25搞不清楚到底是不是反串了==

sleepboa 08/16 12:59再噓,邏輯死亡,別在這邊誤人子弟

dani1992 08/16 15:06這篇寫的挺好的啊

dani1992 08/16 15:06而且揭露資訊會改變機率跟證成論很有關

dani1992 08/16 15:09這不是畫樹狀圖能解決的,總不能做個物

dani1992 08/16 15:09理實驗也化樹狀圖吧

雖然我知道你要講什麼,而且講的是對的,不過我避免使用「證成論」 因為有人看到這種字眼就會以為跟哲學有關,然後看到哲學就覺得是唬爛 其實機率要看你知道什麼資訊來決定只是很基本的數學常識... 而且「主持人隨機開門,剛好開到羊」這個版本的命題足夠簡單,是很容易畫樹狀圖的 也很容易用紙牌實驗,就是隨機開門時如果開到車的局算沒輸沒贏,從頭開始就好了

sleepboa 08/16 18:12命題矛盾一堆還在寫得好,真讓人生氣

※ 編輯: raincole (220.134.90.112 臺灣), 08/16/2021 19:36:16

cloudwolf 08/17 02:15打了一大堆~~~結果是錯的 可憐喔~~~

cloudwolf 08/17 09:20又一個搞不清楚,發文展現自己不懂三

cloudwolf 08/17 09:20門問題的人

gymfantasy 08/17 15:31你原文老師開籤條件要先講好不包含你