Re: [聊天] 200天井的抽數分布

※ 引述《mathtsai (mathtsai)》之銘言：
: 推 JARVIS00: 什麼時候才有新池抽 08/23 16:41: 推 WuhanWinnie: 期望是107.8抽 用算的即可 08/23 16:45: → gohomexx: @WuhanWinnie 可否指點一下計算的公式? 08/23 16:46: 推 dustlike: 期望值的定義呀，各項結果乘以其機率 08/23 16:53: 推 crazy60p: 可能是不知道機率函數長怎樣吧, 去找 負二項式分佈 看看 08/23 16:58: 推 WuhanWinnie: 手邊沒電腦只放連結 08/23 17:03: → WuhanWinnie: https://www.ptt.cc/bbs/PCReDive/M.1616676029.A. 08/23 17:03: → WuhanWinnie: 293.html 08/23 17:03: → WuhanWinnie: 算出第幾抽會抽到的機率 08/23 17:05: → WuhanWinnie: 1~200每個都相加即可 08/23 17:05: 推 gohomexx: 謝謝 08/23 17:11: → charlie1667: http://i.imgur.com/YW5BtpO.jpg 08/23 18:40

∞
E[X] = Σ P(X > n)
n=0

這個算法在這類抽取實驗的觀測相當方便

在公主連結的卡池這個案例裡面，我們的隨機變數X就是「抽到角色所需要的次數」
為了方便討論，我用 p = 0.007 作為單抽出獎的機率

那接著就是要考慮怎麼去算 P(X > n) 了

首先，所謂的 P(X > n) 就是 抽了 n 次沒有抽到角色 的機率

1. 我想聰明的大家很快就可以發現，當 n>=200的時候， P(X>n) = 0
為什麼呢？因為現在200次就會天井，所以不會發生你抽了200以上卻沒有抽到角色的事件

2. 那 n = [0, ... ,199] 呢？
在沒有觸發天井的時候，抽了n次沒有超到角色的機率顯然就是 (1-p)^n

綜合 1.,2.，

P(X > n) = (1-p)^n , 0<= n < 200
0 , n >= 200

現在套用最上面的公式

∞
E[X] = Σ P(X > n)
n=0

199
= Σ (1-p)^n
n=0

= 1/p * (1 - (1-p)^200) (等比級數)

這樣算起來還挺方便的

對了，如果 X 不是離散的隨機變數而是連續的隨機變數，
也有個類似的算法，

∞
E[X] = ∫ P(X > t) dt
0

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早川秋看到的未來
https://i.imgur.com/aRFJqId.jpg

欸 那～就，以後看到 "非負"隨機變數 記得先試試看這做法XD