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Re: [閒聊] 大學數學真有人能憑直覺拿滿分嗎

看板C_Chat標題Re: [閒聊] 大學數學真有人能憑直覺拿滿分嗎作者
yueayase
(scrya)
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※ 引述《carlow (卡蘿)》之銘言:
: 舉一個簡單的例子 sec x的積分
: 現在的人可能覺得這個蠻標準的 但這個問題在十七世紀卻是灸手可熱的難題
: 有幾個數學家都猜出了答案但都沒法把證明寫下來
: 連牛頓也知道這問題 不知道他有沒有嘗試證明就是
: 到了1668這問題才由巴洛用部分分式的方法解出來
: 很明顯 這種問題不是光知道代入法就能解出來的
: 但是如果你有上課學到t=tan(x/2)這秘技的話 要積sec x就很簡單了~

倒是不一定要用Weierstrass Substitution,雖然這個方法很強大

以下是不用Weierstrass,也不用一般微積分課本用湊的驗證出來的作法:

∫sec(x) dx = ∫1/cos(x) dx

=∫cos(x)/cos^2(x) dx

=∫cos(x)/(1-sin^2(x)) dx

=∫1/(1-u^2) du (u = sin(x))

=∫[1/(1-u) + 1/(1+u)]/2 du

= (-ln| 1-u | + ln| 1+u | )/2 + C

= 1/2 ln|(1+u)/(1-u)| + C

= 1/2 ln|(1+sin(x))/(1-sin(x))| + C

= 1/2 ln|(1+sin(x))^2/(1-sin^2(x))| + C

= 1/2 ln|(1+sin(x))^2/cos^2(x)| + C

= 1/2 ln(|(1+sin(x))/cos(x)|)^2 + C

= ln(|(1+sin(x))/cos(x)|) + C

= ln|1/cos(x) + sin(x)/cos(x)| + C

= ln|sec(x) + tan(x)| + C

這裡只用了三角函數常見代換法的處理方式 + 部分分式

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Vulpix03/08 05:11推這個作法。不過我猜這應該就是1668那年的招式吧。

Vulpix03/08 05:14不過最偷懶的作法是:分子分母同乘「sec(x) + tan(x)」。

orangeon1103/08 11:15猜答案然後微下去不就是證明嗎

carlow03/08 12:14好扯 半夜算積分

carlow03/08 12:16乘sec x+tan x這招當年也被另一人用上了

carlow03/08 12:16不過據維基所言當時寫下來證明「對現代讀者來說難以理解」

carlow03/08 12:19代sec+tan和部分分式是不難 但你想不到可以這樣做呀