Re: [討論] 克蘇魯的資訊崩潰是教小學生微積分嗎

※ 引述《hayuyang (鳳山蠹)》之銘言：
: 推 ianlin1216: 所以極限的定義是什麼 我現在還是看不懂 12/26 16:50: 推 pponywong: 要懂微積分 要修高等微積分啦 12/26 16:52不用特別修高等微積分啦，極限的概念跟中學的數學相比，
確實是很嶄新，但切記：數學理論的發展，都是為了簡化問題
所以數學不應該是艱澀難懂的東西 :)

整個極限的概念的太初之始就是 數列的極限，
其他的極限(比如函數的極限lim f(x) 這種)都只是數列極限的變形

所以我們就來看數列的極限是啥

〈從簡單的例子出發〉
考慮 An = 1/n 這個連角卷綿芽都看得懂的例子
https://i.imgur.com/M8zLo4L.jpg

從這邊出發如果要給個定義，很自然有下列這個候選：
隨著 n 越來越大， An 就越來越靠近 0。
所以 An 的極限是 0

這個定義其實很直觀，角卷綿芽都聽得懂。
但是技術上會遇到一點小問題

〈一個稍微靠北的例子〉
考慮一個角卷綿芽可能比較難想像的例子
數列 Bn = 1/n , n 是奇數
0 , n 是偶數
https://i.imgur.com/OeOhs2x.jpg

首先可以注意到的是：Bn 並沒有"隨著 n越來越大 就越來越靠近0"
因為Bn在奇數項直接就等於0了。

所以上面的極限定義並沒辦法說明Bn極限為0。

但...「Bn的極限是0」也是一件沒有爭議的事情。
因為Bn列車也是一路開往 0 。

有人可能想提問：啊幹 你在找碴喔？n越大數列整體還是越來越接近0啊

是的，「n越大數列整體越來越接近0」這個就是進代極限的想法

〈進代數列極限定義〉
那所謂的「整個越來越接近0」，在數學上是什麼意思呢？
不管你怎麼想，始終都會走到「n如果夠大，那Bn就會在0旁邊」這結論

再寫得量化一點：只要n夠大，Bn與0的距離就會很接近

這個其實已經夠好了，但是「很接近」是一種感覺，不是數學語言。
所以這個定義仍然需要再精進。

再榨出一些腦汁之後，終究會走到：
不管你給一個多麼小的數字 c，只要n夠大，
Bn 與 0 的距離就保證比 c 小 (當然 因為這是距離 c肯定要是正數)

這樣我們就可以量化地闡述上面「很接近」的意思。
到這裡，我們已經得到微積分課本上的數列極限定義了

只是一般課本裡面會寫成：
對於數列 An，如果給定任何正數 ε，
我們都可以找到一個分水嶺 N，在 n超過這個分水嶺之後，
An 與某數字 a 的差距都小於 ε，則我們稱 An 的極限為 a

到這裡，你對數列極限的理解已經跟數學大俠們一樣了
https://i.imgur.com/AsqHWl2.png

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早川秋看到的未來
https://i.imgur.com/aRFJqId.jpg

會加到爆掉，你想估計的話，An加到第n項大概跟 ln(n) 差不多

我知道你在講哪個定義 我一下子也忘記叫什麼 但那個跟極限定義沒啥衝突的

一般人也不會覺得 1+1/2+1/3+... 加一加會變成 0 吧？

你這邊的極限如果指的是 數學分析的極限定義(ε-δ)， 那應該是可以都不用碰到。

是啊 就好像一般人不會知道直角三角形 斜邊平方 = 兩股平方和 這些都是歷史上的重大數學成果 不告訴你 你哪會知道啊XD

這也沒什麼分家不分家吧