Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
※ 引述《E7lijah (InsfirE喚焰)》之銘言：
: ※ 引述《zax8419 (小火馬)》之銘言：
: : 直接說結論: 一樣多
: : 姑且身為一個有靠數學招搖撞騙的小廢廢 應該可以提供個簡單的解答
: : 但我知道西洽存在112數學系拿卷畢業 然後現在應該在國外讀博的版友
: : 偶而也有112數學系畢業 然後讀電機碩的版友
: : 相比之下我就只是個廢物Q_Q
: : 關於自然數與質數誰比較多 這個驗證方式應該分為兩個步驟
: : 1.質數是否為無限多個?
: : 2.若質數為無限多個 那質數與自然數如何比較?
: : 首先1.
: : 質數有無限多個。
: : 其證明方式非常簡單 用最基本的反證法即可
: : 因"質數有無限多個"與"質數為有限多個"為相反的命題
: : 故先假設"質數為有限多個"
: : 則我們可以從小到大 將所有質數編號 p_1,p_2,p_3......p_n p_n為最大的質數
: : 而若我們寫出一個大數N為所有質數的乘積
: : 則會發現N+1不能被以上所有的質數給整除(餘數皆為1)
: : 那麼就可以得出N+1亦為一個質數 且比p_n還要大 與最初的命題矛盾
: : 所以可以得知"質數有無限多個" Q.E.D
: : 再來2.
: : 無限多個的自然數 與 無限多個的質數 其數量一樣多
: : 非常簡單
: : 我們可以說
: : "第一個"自然數為1 "第一個"質數為2
: : "第二個"自然數為2 "第二個"質數為3
: : "第三個"自然數為3 "第三個"質數為5
: : ......
: : 以此類推
其實這個想法要寫的嚴謹一點還有點意思
你已經做出 "排序"這件事了
當然這裡很明顯的用大小來做排序了
其實已經用到
最小上界存在
且
最小上界存在 自然數與質數的集合中
排序這件事之後在有理數跟自然數的比較中
也可以用到
當然那時候排序就不會用大小這件事
這樣還是不夠證明二個個數是一樣的
: : 所有"第N個"自然數都可以對應到一個數 同時"第N個"質數亦可對應到一個數
: : 那麼儘管有點違反直覺 但實際上論"個數" 則自然數的個數與質數的個數是一樣多的: : 或者說 只要能找到任何一個無法同時存在有"第M個"自然數 但沒有"第M個"質數的狀況這樣講的話 可以用強數學歸納法?
N=1的時候
自然數集合 |N 跟質數集合 |P
各自的最小下界inf 1 跟2 對應
將1跟2各自放進 一個集合 A_1 跟B_1
架構 N=2 的二個集合
是{a in |N but a not in A_1}
跟{n in |P but n not in B_1}
一樣各自取inf 做對應
N=M 時
N=M+1 一樣可以做
所以一樣?
其實沒有特別記得 這樣做行不行
: : 就能說自然數的個數 與 質數的個數不相同
: : 這種概念在所有的"可數集合"均成立
: : 進階一點就像"有理數的的個數"也與"正整數的個數"是一樣多的
: : 但是當命題拉到不是可數集合的時候 就不會那麼簡單了
: : 就像無理數的個數有無限多個 正整數的個數也有無限多個
: : 但無理數的個數卻是遠大於正整數的個數
: : 不過要去說明就懶了 大概也沒人在乎
: : 數學嘛 就是這麼反直覺 唉
歡迎成為 數學教徒(?)
: 其實你第一個證明有點瑕疵
: 令 N = 1 + p_1*p_2*...*p_k的作法
: 我能舉個反例：
: 1 + 2*3*5*7*11*13 = 30031 = 59*509
: 此時N可以表達成兩個不為{1,N}元素的自然數之乘積
: 不符合質數的定義，新造出的N不是質數
: 你當然可以說那我不管N了，此時59與509反而是你新發現的質數
: 但原本的證明敘述仍有瑕疵就是了
你看看別人的假設
要所有的質數
那59 509 這二個數對你來說是不是質數?
要說瑕疵也先把前提看清楚
: 有一個概念相似但比較嚴謹的證明：
: 同樣假設存在有限個質數p_1, p_2,..., p_i,..., p_k
: i屬於{1, 2,..., k}
: 則對於任何自然數n≧2
: 有p_i|n (p_i能整除n)
: 這邊需要一個引理：
: 若a|b，且a|c
: 則a|(b-c)
你的條件很明顯的不夠
b c 都是a的時候會成立嗎?
b c有額外條件吧?
b c 一樣的時候會成立嗎?
: 這個證明很簡單
: 令b = x*a
: c = y*a
: b-c = (x-y)*a，其中x,y皆為整數
: 得a|(b-c)
: 回到質數無限多個的證明
: 令n = 1 + p_1*...*p_i*...*p_k
: 可推得p_i|(n-1)
: 再結合前述的p_i|n
這條哪來的? 後面先不看
: 我們有p_i|[n-(n-1)]=1，即p_i|1
: 但p_i必定≧2，不可能整除1，明顯矛盾
: 得證質數的數量不可能有限，即質數有無限個
: 再回到質數跟自然數是否一樣多的問題
: 數學上比較兩個集合的個數大小，可以用一一對應原則
: 概念上就是班上有40個人，老師不需要從1數到40
: 只要視線快速掃過每個座位都有人，就能確認座位數=人數
: 令R跟S為某兩個集合
: 若你能找到一個一一對應關係使每個R的元素對應到S
: 則|R|≦|S| (|R|代表R集合的大小)
: 而當|R|≦|S|與|R|≧|S|同時成立時，
: 則|R|=|S|
: 也就是說你若能R→S和S→R兩個方向上都找到一一對應關係的話，
: 那麼R跟S這兩個集合的大小相同
: 以上敘述對有限集合與無限集合皆適用
: 現在我們令N為自然數集合，P為質數集合
: 明顯地，|P|≦|N|，每個質數都能對應到一個自然數
: 所以我們只需要證明每個自然數也能對應到一個質數，
: 就能說明質數的數量跟自然數一樣多
: 這可以用費馬數做證明：
: 第n個費馬數可以表達成
: F_n = 2^(2^n) + 1
: 已知任兩個費馬數皆互質，即任兩個費馬數的最大公因數是1，
: 也就是說任兩個費馬數必不會有共享的質因數
: 那麼對於每個費馬數F_n，我找出他最小的質因數P_n，
: 這個P_n必不等於其他費馬數F_m的最小質因數P_m
: 於是，對每個自然數n，我能對應到一個費馬數F_n，又再對應到一個質數P_n
: 我找到了將每個自然數都對應到一個質數的方法
: 所以|N|≦|P|
: 再結合|P|≦|N|
: 得證|P|=|N|，即質數的個數與自然數一樣多
: btw我也不是數學系，有誤煩請糾正
--
克蘇魯?
https://imgur.com/eAa4UOI
https://www.ptt.cc/C_Chat/M.1658237873.A.160
--
他不就什麼都懂一點蹭一點= =
他說有錯請糾正 我就糾正了
嗯a|b那邊確實該加個b不等於c的條件，或不失一般性直接
令b>c 這樣b-c出來是正數比較好看
在這裡
則對於任何自然數n≧2
有p_i|n (p_i能整除n)
59跟509那個我也在推文討論了一下，就算此時最大的質數
是13，59是合數，那麼30031可以拆成兩個合數乘積，不也
有點奇怪嗎
???你們為啥不在整數裡面做
3樓，所以最大的質數不是13啊，你自己就是在舉反例了
你不就是要證明質數無窮多，你已經找到比原先那個還要大
的質數了啊
那對你來說此時比13更大的質數是什麼？
在原命題的假設下 當你做到13時就已經結束了 可以直
接Q.E.D 本來就沒有59是不是質數合數的問題
再往後討論下去就是連命題根本的定義都推翻 沒意義啊
不符合此時質數定義的59？509？還是可以被拆成兩個合數
乘積的30031？
喔等等你們的數線只到13嗎 13後面都沒有數字？
我以為妳只是一時轉不過來 原來是真不懂= = 你自己 "假設" 最大的質數是13好嗎? 那30031 不能被2~13的質數整除的時候其實證明就結束了 你只是又找了二個數 也不能被 2~13的質數整除 矛盾的點變多而已 然後最大的質數依舊不是13阿
當能找到不存在於假設集合的質數就足以證明質數無限
因為該原文已經假設13為最大的質數 那你拿出59 509不就
我的想法中，比較好的證明是無限個自然數中只有有限個質
數，自然數還是延伸至無限的，所以59 509 30031這些數依
然存在，只是它們當下不是定義中的質數
證明了13不為最大的質數? 按照這種方法 永遠都能找到更
大的兩個質數來整除
回siro，對啊 所以我在原文提供了59是新的質數的選項，
但此時就不是N=30031做為新的最大質數
所以你證明了你的假設是錯的 這不就是反證法?
※ 編輯: comp2468 (59.124.14.100 臺灣), 05/17/2023 11:06:13要先回歸一個原點 反證法簡單說就是要在設定的命題下
找bug 根據原命題那就是”13是最大質數” 在此命題的
驗證模式下30031就該是一個質數 你”不能夠”去質因
數分解更往後的質數 不然就從根本否定原命題了
30031是不是真的質數不是重點也不是瑕疵 反例才重要
回Kae 我不需要“特地”做質因數分解 也就是說我不需要
將因數中的59 509指認為質數
這看來是要再開一篇解釋的節奏XD
你要試著做啊@@ 至少你要確認 2~13的質數不在質因數中就做完了 不過我建議你先了解一下條件跟證明@@
※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 11:17:49本來就沒跟你保證，這樣作出來的數是不是質數，只是如果
是質數，那它肯定比原本最大的質數還大，不是質數的做質
因數分解，你也肯定能找到比原本還大的質數
回原po最靠近這推文的編輯
對 我證明原來假設是錯的 是反證法沒錯
但發生矛盾的是59，不是30031，我就只是覺得原原po的證
法多補充一個可能性比較完整
你會說是59 就是你沒看懂他在證明什麼
1 + p_1*p_2*...*p_k只是方便你快速了解這數無法整除
重點在於你30031不管是不是質數 他都不能被你原先假設的
"最大"質數13整除
不對 是不能被你假設的2~13質數整除
欸好吧看來大家還是不太懂我想講什麼 晚上回來再一篇XD
我先丟一句話是說，質數最初始的定義是不能被自己跟1以
外的數整除，那今天30031不能被2,...,13整除，但能被59
整除(此時59是作為「非質數」存在)，那麼30031不符合質
數定義，這個證明「尚未」找到比13更大的質數
但我們都知道此時只要將新的質數候選人改成59，整個證明
就完成了
呃 所以你不知道所有合數可以寫成質數的乘積這件事嗎? 12=2^2*3 類似這樣 這是她證明的核心 所有比最大質數大的整數a 都應該可以寫成 a=p_1^n_1*p_2^n_2...p_m^n_m 其中 n_i, i in [1,m] 是大於等於0的整數
當30031無法被假設下”所有的質數”給整除時 就已經
該命題下是個質數了 去討論59就徹底失去反證法的意義
那就直接說17、19 都是質數不是更快？
不是，你有沒真的找到59都沒差，因為這樣建構出來的，保
證你肯定會找到比原本還大的質數，至於那個數是啥不太重
要
欸所以我想說的是 30031這個數 如果使用「可否被其他質
數整除」做質數定義的話，那他是（新的）質數，但如果使
用「可否被1跟自己以外的數整除」做質數定義的話，那它
不是新的質數，要另外展開
這個證法會被挑小毛病的地方就在質數的定義使用上，當然
可以死守我上句的第一個定義，只是像我這種怪人就會拿第
二個更基本的定義來檢查
探討1 + p_1*p_2*...*p_k是否為質數並非該證明的主題
所以使用這個證法比較無懈可擊的做法是像ae大貼的wiki條
目 分兩種情況討論 一定沒有問題
探討1 + p_1*p_2*...*p_k是否為質數 就是 這個證明的主
題，因為這個證明就是用我發現了1 + p_1*p_2*...*p_k這
個更大的「質數」做反證法矛盾點的依據
所以說合數是什麼 = =
不是質數的整數啊
不是，是正整數，而且1既不是質數也不是合數
反正本來就得去補上 1 + p_1*p_2*...*p_k是合數時
造成矛盾的情況
應該說因數有1跟自己以外的數
的自然數
ae大你懂我QQ
總之我想講的差不多就是wiki歐幾里得定理條目寫的
那就不是反證法阿 他的證明跟歐幾里得的不一樣阿@@ 你們有在看ZAX的假設嗎? 他是已經找了一個最大質數p_n當上界 歐幾里得的是 任意有限個數的質數集合 所以她的證明中用到 如果 q不是質數， 那麼存在一個質數因子p p整除q 但所有p_1~p_n 都不能整除q 所以矛盾 p_1~p_n 在這裡的假設是 "所有"質數 歐幾里得的是任意有限個數的質數集合 前提有差啊 所以歐幾里得的假設會有 乘起來是不是質數的問題 因為他這裡不是指所有的質數 但ZAX的假設p_n是最大的 而且乘起來+1 一定大於p_n 所以只要p_1~p_n 都不能整除q就結束了 你們講的完全是不同東西好嗎@@?
※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:02:35@E7lijah 看起來應該是正解，歐幾裡德定理確實沒有要求質
數集 P 必定需是否有限，細節的證明還是去看 Wiki 歐幾里
德定理
從他說出是反證法的時候就不是歐幾里得定理了@@ wiki上有說 不要搞混了 並不是證法相似就是一樣
※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:08:08我開始懷疑他在反串了....
然後我是數學前叛徒 也就是數學叛徒的叛徒Q_Q
我應該算被踢出來吧QQ 我一開始以為他只是有個點沒想通 我開始懷疑他根本不知道自己在講什麼 反串的話是高級反串 我被吊到了QQ
所以她的證明中用到
如果
q不是質數，
那麼存在一個質數因子p
p整除q
沒有喔 zax大的證明沒有上面這些話
這些話就是我覺得需要補充加上去的部分
對 他是沒有講 但跟你前面講的那些什麼合數乘積 是完全不同事情
等等 既然1+p_1*p_2*…p_n這個數不為質數的可能只有「存
在比p_n更大的質數」那無論這數是否為質數 元命題都能被
推翻吧？我是不太懂啦
在原命題中 1+p_1*p_2*…p_n這個數不為質數 但產生矛盾 所以有最大質數不成立 所以是無上限的 可以一直創造出來
※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:18:37我講合數乘積是因為那時候59「還不是」質數啊XD 我們還沒
發現他是新的質數不是嗎
我只能說 你糾結的點完全對命題沒有任何影響 59完全不是
原命題討論的點 你的"反例"直接是建立在質數有無窮下 跟
原命題的質數最大值是13完全是不同的事
根據你的論點 我發現17,19,23,29都已經是質數 那我還假設
最大質數幹嘛?
在"有最大質數為13"的前提下 30031根據這個命題就會是質
數 哪管59的事?
他一直糾結在 那個數可以因式分解 很奇怪@@ 矛盾的點就在 q不是質數，那麼存在一個質數因子p p整除q 但你在這個假設會找到一個q找不到這個p 所以矛盾 根據反證法就是 無限大
欸對欸 歐幾里德沒有使用反證法，它對於 1+all of p_i 的
T 和 F 所造成的結果都有後面的討論
抱歉 我今天 JPTT 一直被卡登入 文章看一半==
Jptt今天真的一直斷 很奇怪1
那是數字小的時候你可以手動檢查啊 數字大的時候你用電
腦算都很難算
所以她架構一個數字 來證明不是嗎?
※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:27:38不如你說說怎麼用唯一的質因數表示法來表示30031
有限集合不處理最小上界不會被刁吧
@E7 我覺得中文的歐幾里德 Wiki 寫的比英文的好懂不少，
也許可以看一下
要記得前提是質數只到13喔
學術論壇捏
去考慮p_n+k的存在對反證命題的意義…我是說假如它存在
那元命題就是錯的不用反證了 如果他不存在 本來的證明方
法就沒問題不是？
應該說 在他的假設下 就是不存在 所以有那個證法證明矛盾
那我不用唯一的質因數分解表示30031，我就單純因數分解，
不限定因數須為質數
他的矛盾點就在 找不到那個唯一的質因數分解 所以我說你沒看懂
※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 12:32:47欸我先澄清 我沒有反對反證法本身 我是覺得反證法的矛盾
發生點需要多補充一句另一個可能
ptt今天一直斷+1 我用Pitt也是
不用唯一的質因數分解表示法...你要不要聽聽你在說什麼?
蛤 就不強求質因數分解啊 單純討論因數分解看他所有因數
不行嗎
所有因數中有不是自己跟1的就是合數啊 不是這樣嗎
所有數都能表示成唯一的質因數表示法 我以為這是國中的常
識
如果真的做不到 那我想也無法討論下去了。
我沒有要討論做不做得到 我只是沒有要去做而已= =
我先用基本的因數分解不行嗎
E7最怪就是命題限定的東西不管 直接跳整體的因式分解
那你要不要先做了 再來說他是合數呢?
不是 我知道你們想幹嘛 你們想要用30031的質因數沒有2~13
，所以30031是新的質數
正整數那個在國中比較像神諭吧 國中有教算術基本定理嗎？
集合內的元素搞不定就是反證法成功了
這是質數的性質沒錯
要證這麼基本的東西 就不要再把"常識"搬出來了 用"定理"
其實也沒錯 應該把要用的定理引出來 或者直接證明也行 用強數學歸納法證明 2~N 都有質因數分解 所以假設N+1 = a*b 若存在 a b都是大於二的自然數 則 N+1 有質因數分解 a 的質因數分解*b的質因數分解 若a or b 只能是1 則N+1是質數 唯一的質因數分解就把二個質因數分解相除=1就可以證明
啊我想到了 30031用質因數分解定義來看是質數，用列出所
有因數分解來看是合數，發生矛盾，證畢 皆大歡喜
摁 你開心就好 記得如果有要教人 不要教別人這樣寫 我改
會扣分
好的教授
8要氣ㄅㄨㄅㄨ 證明不完備其實很常見，既然真的想討論雙
方就不要用這麼多情緒化用詞。
不過我真的覺得 E7 可以發文解釋一下你的方法覺得對的理
由，最好比較一下歐幾里德定理跟你的差別，不然很難服眾
我剛剛認真看了一下後續 發現他的前提就是錯的
: 有一個概念相似但比較嚴謹的證明： : 同樣假設存在有限個質數p_1, p_2,..., p_i,..., p_k : i屬於{1, 2,..., k} : 則對於任何自然數n≧2 : 有p_i|n (p_i能整除n)抱歉 沒這引理 除非你假設 那些是所有的質數 他要講歐幾里德定理的話就不能用這個引理證明 不然他自己的反例就是這個引理的反例阿
※ 編輯: comp2468 (61.220.74.62 臺灣), 05/17/2023 14:06:56上面的假設其實沒有 Quantifier 讀的也蠻痛苦的，但我決
定還是維持吃瓜就好了==
我指 E7 的原文
zax的證明不就矛盾的部分沒有寫仔細而已，怎麼這麼糾結
我是知道我寫的沒有很完整 不過本來就打算寫科普簡略向
只不過不完整的部分絕對不是合數部分就是了
就是沒講質因數分解存在且唯一這個而已@@
※ 編輯: comp2468 (203.204.43.142 臺灣), 05/17/2023 22:44:3773
首Po在無限多的情況下 自然數跟質數誰比較多呢？ 玩星穹鐵道出的任務 感覺上每多出一個質數 就會多出好多的自然數![[問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？](https://img.youtube.com/vi/RJS3Z2DYEO4/mqdefault.jpg "[問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？")
56
直接說結論: 一樣多 姑且身為一個有靠數學招搖撞騙的小廢廢 應該可以提供個簡單的解答 但我知道西洽存在112數學系拿卷畢業 然後現在應該在國外讀博的版友 偶而也有112數學系畢業 然後讀電機碩的版友 相比之下我就只是個廢物Q_Q![Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？](https://pbs.twimg.com/media/FrOKQF3akAAvYMV.jpg "Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？")
18
那個不好意思借串問一下 我朋友之前跟我說這台車不會動 但我一直聽不太懂 所以請問為什麼不會…![Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？](https://i.imgur.com/AVRvFFeb.jpg "Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？")
51
其實你第一個證明有點瑕疵 令 N = 1 + p_1*p_2*...*p_k的作法 我能舉個反例： 1 + 2*3*5*7*11*13 = 30031 = 59*509 此時N可以表達成兩個不為{1,N}元素的自然數之乘積25
「答案是一樣多」 你不見得要接受這講法啊 用 N 和 P 來分別代表 自然數 和 質數，大家會發現： (1) P 有的數，N都有 (2) 有些數，只有N有，P沒有 在這個認知下，覺得「一樣多」很奇怪沒啥問題![Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？](https://img.youtube.com/vi/b8cSITGGzEw/mqdefault.jpg "Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？")
9
突然想到一個東西 雖然跟原文無關 不過也算離散數學的範圍 就是有沒有人也覺得鴿籠原理很屌 很白痴的原理 十隻鴿子要放進九個籠子裡 一定至少一個籠子有兩隻鴿子 一開始覺得 幹這什麼廢物原理 小學生都會 不過當他開始在一些意想不到或是莫名其妙的地方跑出來的時候（通常是證明）我就覺得 靠這東西真的太屌了 比如說有限狀態機、6個人之中必有3個人互相認識或互相不認識之類的 常常就覺得 幹 又有鴿籠 還有遞迴的概念 我不用知道怎麼做 我只要知道做完的結果和上一步的關係是什麼就可以解了 真的有種重新認識這世界的感覺10
推 hutao: 做個每日還這麼哈扣，不曉得以後會不會來0.999_=1 05/17 00:35 來開個新主題 0.9bar = 1 ? 直接講結論: 是對的 也不是對的 至於如何"說明"(這邊先不用"證明"一詞)![Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？](https://i.imgur.com/YgqfJKtb.jpg "Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？")
對小學生來說這個有點困難，因為小學生普遍沒什麼代數的概念 我比較建議擱置這問題。 : 二、如果是對國中生說 : 三、如果是對高中生說 : 0.9bar = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ......![Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？](https://img.youtube.com/vi/l6rlIOetkwg/mqdefault.jpg "Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？")
2
: : 0.9bar = lim An : n->∞ : 基於上面的描述，會得到 0.9bar = 1 : 不同意的，就叫他自己描述一下他心中的 0.9bar 是什麼樣子15
雖然這是學術論壇 但到底為啥在C_CHAT寫證明呢... 然後為啥我要點進來看呢? 看了讓我想回文 也很神祕 ※ 引述《yueayase (scrya)》之銘言：![Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？](https://i.imgur.com/eAa4UOIb.jpg "Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？")
爆
[問卦] 7777777是介於6跟8之間的自然數 也是第4個質數 前一個是5 下一個是11 啊有沒有7的八卦 o'_'o?![[問卦] 777777](https://i.imgur.com/GQWJAT8b.jpg "[問卦] 777777")
42
Re: [閒聊] 小學生喜歡的課程排名 第一名是數學?假設皮亞諾公理(Peano's axiom)： (簡化版) 1. 0是自然數 2. 對於自然數n 存在n'使得n'為自然數 (把x'叫做x的後繼數 可看成x+1) 3. 對於自然數m,n, m=n <=> m' = n' 4. 對於任何自然數m, 0 ≠ m'8
[問卦] 質數跟自然數誰比較多啊？安安大家好我文組 在隔壁版看到這題 自然數總共無限個 質數也有無限多個 在有限的範圍裏面 理論上質數比較少 但如果拉到整體看 全部的數量比起來 哪一個會比較多呢 有人說無限不能比![[問卦] 質數跟自然數誰比較多啊？](https://i.imgur.com/WIhyfdKb.jpg "[問卦] 質數跟自然數誰比較多啊？")
3
Re: [問卦] 找質數能讓人冷靜下來嗎的卦？認真講真的可以，有時停紅綠燈 我會看人家的車牌號碼是不是質數 先用2，3，5，7，11，13，17去除 不然有的紅燈要停快2分鐘，超煩 另外在密碼學（現代）也是用到質數X
[問卦] ..35711以前啊 小學吧 總是要背質數 1 3 5 7 11 13 17 19 … 但是長大後根本沒用到 有沒有數學或者國小學霸能跟我解釋解釋 當初學質數用意在哪？ 該不是為了考試而已吧？1
Re: [問卦] ㄟ 0到底是不是自然數自然數（參考ISO 80000-2和ISO 2382中所採用的定義） 指非負整數為免歧義有時也直接以非負整數代替自然數使用。 數學中代表以自然數組成的集合。 自然數集是一個可數的，無上界的無窮集合。 非零自然數即指正整數。
爆
Re: [閒聊] 川普當選會減緩DEI浪潮的狂奔嗎?![Re: [閒聊] 川普當選會減緩DEI浪潮的狂奔嗎?](https://i.imgur.com/y3aRPesb.jpeg "Re: [閒聊] 川普當選會減緩DEI浪潮的狂奔嗎?")
爆
[閒聊] 中國網友發現麥塊64為禁字後被ban![[閒聊] 中國網友發現麥塊64為禁字後被ban](https://pbs.twimg.com/media/GfZiINSa4AAnhdD.jpg "[閒聊] 中國網友發現麥塊64為禁字後被ban")
71
[閒聊] 有沒有電子盆栽型的手遊推薦51
[討論] 170cm 500萬円不算高的條件吧!?![[討論] 170cm 500萬円不算高的條件吧!?](https://i.meee.com.tw/WaRPvTB.png "[討論] 170cm 500萬円不算高的條件吧!?")
25
[閒聊] 死亡筆記:最大受害者家屬是夜神家老媽?![[閒聊] 死亡筆記:最大受害者家屬是夜神家老媽?](https://i.imgur.com/iypIJHLb.jpeg "[閒聊] 死亡筆記:最大受害者家屬是夜神家老媽?")
43
[提名] 洛琪希·米格路迪亞![[提名] 洛琪希·米格路迪亞](https://i.imgur.com/jyHgNgbb.jpeg "[提名] 洛琪希·米格路迪亞")
21
[蔚藍] 那樣的人竟然是風紀委員嗎![[蔚藍] 那樣的人竟然是風紀委員嗎](https://i.imgur.com/TlZugpAb.jpeg "[蔚藍] 那樣的人竟然是風紀委員嗎")
17
Re: [閒聊] 月曜日のたわわ![Re: [閒聊] 月曜日のたわわ](https://pbs.twimg.com/media/GfcG5u4a0AAFFvZ.png "Re: [閒聊] 月曜日のたわわ")
35
[閒聊] mygo 09 曾經的美好時光去哪![[閒聊] mygo 09 曾經的美好時光去哪](https://i.imgur.com/P35CNfib.jpg "[閒聊] mygo 09 曾經的美好時光去哪")
17
Re: [閒聊] 川普當選會減緩DEI浪潮的狂奔嗎?15
[討論] 不死不運 236 不死不運！![[討論] 不死不運 236 不死不運！](https://i.imgur.com/VwT4upib.jpeg "[討論] 不死不運 236 不死不運！")
29
Re: [PTCGP] 1529人參賽出輪32強牌組![Re: [PTCGP] 1529人參賽出輪32強牌組](https://i.imgur.com/KLrlBS9b.jpeg "Re: [PTCGP] 1529人參賽出輪32強牌組")
12
[MyGO] 爽世媽要選女婿會怎麼挑13
[Vtub] 12/22同接鬥蟲![[Vtub] 12/22同接鬥蟲](https://i.meee.com.tw/7V6WsQh.jpg "[Vtub] 12/22同接鬥蟲")
12
[蔚藍] 徵人啟事![[蔚藍] 徵人啟事](https://i.imgur.com/xxeZbPEb.jpeg "[蔚藍] 徵人啟事")
6
[問題] #グラブルフェス2024 是什麼IP啊![[問題] #グラブルフェス2024 是什麼IP啊](https://pbs.twimg.com/media/GfXkYjYagAAfAw-.jpg:large "[問題] #グラブルフェス2024 是什麼IP啊")
9
[GBF]十二神將 全員到齊![[GBF]十二神將 全員到齊](https://i.imgur.com/u4TbTZ5b.jpeg "[GBF]十二神將 全員到齊")
11
[黑白妹] 哀..我只是個無能的哥哥![[黑白妹] 哀..我只是個無能的哥哥](https://i.imgur.com/5RwubKIb.jpeg "[黑白妹] 哀..我只是個無能的哥哥")
8
Re: [情報] 米津玄師2025巡迴 實名登記抽選制7
[絕區] 後知後覺，星見雅是萬雌王…![[絕區] 後知後覺，星見雅是萬雌王…](https://i.imgur.com/EgStzgob.jpeg "[絕區] 後知後覺，星見雅是萬雌王…")
5
[閒聊] MyGo是不是讓邦邦古參粉失去自豪本錢![[閒聊] MyGo是不是讓邦邦古參粉失去自豪本錢](https://i.imgur.com/WWujE6Qb.jpg "[閒聊] MyGo是不是讓邦邦古參粉失去自豪本錢")
8
[Vtub] GIGI怎麼那麼黏Fauna？![[Vtub] GIGI怎麼那麼黏Fauna？](https://img.youtube.com/vi/Ef03oRhtqVI/mqdefault.jpg "[Vtub] GIGI怎麼那麼黏Fauna？")
6
[閒聊] 祥子正式進職場會不會被霸凌到哭哭？![[閒聊] 祥子正式進職場會不會被霸凌到哭哭？](https://i.imgur.com/ExOJ6Yib.jpeg "[閒聊] 祥子正式進職場會不會被霸凌到哭哭？")
6
Re: [原神] 哇!!胡桃!!![Re: [原神] 哇!!胡桃!!](https://i.imgur.com/ufKTmykb.jpeg "Re: [原神] 哇!!胡桃!!")
6
[閒聊] 其他大作的譯者為啥沒朱出名![[閒聊] 其他大作的譯者為啥沒朱出名](https://i.imgur.com/dTHRIUhb.jpg "[閒聊] 其他大作的譯者為啥沒朱出名")
6
[原神] 突然想起「神女劈觀」最後兩句歌詞...6
[奶子] 邀請老師的比基尼乃愛![[奶子] 邀請老師的比基尼乃愛](https://pbs.twimg.com/media/GfZ3e_Ha8AAOmgr.jpg "[奶子] 邀請老師的比基尼乃愛")
5
[24秋] 小桃的戰力是不是很玄?![[24秋] 小桃的戰力是不是很玄?](https://i.imgur.com/2oaoZ0gb.jpeg "[24秋] 小桃的戰力是不是很玄?")
8
[閒聊] LoveLive星團第三季完結了5
[PTCGP] 耿鬼牌組 50勝 小感![[PTCGP] 耿鬼牌組 50勝 小感](https://i.imgur.com/vGdjWqdb.jpeg "[PTCGP] 耿鬼牌組 50勝 小感")