Re: [閒聊] 遊戲王三門問題　換，還是不換？

※ 引述《comp2468 (ilikemiku)》之銘言：
: : 放屁！
: : 我在信心滿滿地扯一堆「解釋」，
: : 是因為我已經算過三門問題的機率事件結果了
: : 因為有數學理論作後盾，所以我在這邊嘴砲的信心爆棚
: : 就算不是三門這種經典問題，
: : 機率習題裡面，這類"啟發式的思考"，其實是非常容易出錯。
: : 這是為什麼處理機率問題一定要從 定義機率事件 開始。
: : 我的建議是：不用特別去找尋什麼簡單的解釋，學習數學吧 :D
: 欸不是
: 沒那麼複雜吧？
你現在看討論串有沒有覺得比想像中複雜很多？
這是因為 自然語言 在描述量化問題上非常地難用
你講你的感覺，我講我的看法，然後很難講出個所以然

如果用數學語言，問題就變得非常單純了

定義三個隨機變數 T, C, O
T (Trophy): 獎品位置
C (Choice): 人的選擇
O (Opened Door): 被打開的門的位置

T, C, O 的數值可以是 1,2,3 其中一個

考慮一個具體的問題：
獎品出現的位置可能是 1,2,3 ，機率相等。
你選了第一個門，現在主持人打開了第二個門。
如果你不換門，中獎機率多少？

上面這個問題寫成機率的形式就是
P( T=C | C=1, O=2)
(我把對應的機率事件標上對應的顏色)

P( T=C | C=1, O=2) = P( T=1 | C=1, O=2)

P( T=1, O=2 | C=1)
= ------------------
P( O=2 | C=1)

P( T=1, O=2 | C=1)
= -------------------------------------------------------------
P( T=1, O=2 | C=1) + P( T=2, O=2 | C=1) + P( T=3, O=2 | C=1)

1. 首先 P( T=2, O=2 | C=1) = 0
因為主持人不可能在獎品位置是2的時候打開2號位置

P( T=1, O=2 | C=1)
所以 P( T=C | C=1, O=2) = ------------------------------------------
P( T=1, O=2 | C=1) + P( T=3, O=2 | C=1)

這條件機率剩下的就是 P( T=1, O=2 | C=1) vs P( T=3, O=2 | C=1)

2. 再看 P( T=1, O=2 | C=1)

P( T=1, O=2 | C=1) = P( O=2 | T=1 C=1) P( T=1 | C=1)

= P( O=2 | T=1 C=1) * 1/3

P( T=1 | C=1) = 1/3 是因為獎品位置在哪裡跟你選哪扇門是獨立事件。

3.那麼 P( T=3, O=2 | C=1) = P( O=2 | T=3 C=1) * 1/3
= 1 * 1/3

這邊趣味的是， P( O=2 | T=3 C=1) 一定是 1，
因為你選1號門，獎品在3號門的時候，主持人只能開2號門

P( O=2 | T=1 C=1)
故 P( T=C | C=1, O=2) = -------------------------------- <= 1/2
1 + P( O=2 | T=1 C=1)

所以不管主持人開門的策略長啥樣，
你不換門的話，取得獎品的機會最多就是 1/2 (一半)

這從上面的式子可以看得出是因為
1 = P( O=2 | T=3 C=1) >= P( O=2 | T=1 C=1)

也就是「如果獎品在3號門，那主持人一定開2號門；
反而獎品如果在1號門的話，還不一定就開2號門，
所以2號門被打開暗示著3號門的機會比較大」

我都沒有用什麼巧思喔，就很平鋪直述地寫出來
但整個立論就跟角卷綿芽一樣地清楚對吧？
https://x.com/fuumiisc/status/1890356321074950189/photo/1
https://pbs.twimg.com/media/GjvkkR9a0AA6n6k.jpg

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鳳雛的清楚講習
https://i.imgur.com/23pfZv9.jpg

你講的這個版本就是 主持人會從剩下的門裡面隨機選一扇門打開， 也就是

的情況。 這情況下

也就是不換門的話你中獎的機率是 1/3

這跟把B打開不是一樣嗎？

你這個「遺忘前面狀況」指的是？ 因為 "你一開始選1號門，主持人說2號門沒有東西"這不是可以「遺忘」的事件

那不就是這篇的機率描述嗎？ "刪除B之後，仍選A的中獎機率"

不管你要解釋成 重新選擇 還是 是否更換， 你能做的就只有 "選A" or "選C"。都不影響上述立論啊

你不妨仿照我這篇文章把機率事件寫出來之後算算看機率？ 我跟你說，所有的困擾和疑惑其實都來自於"空想"， 真的在紙上寫出來的時候，什麼都很清楚了